教学设计，函数的单调性
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【教学设计】
§3 函数的单调性
【教材分析】
本节课是北师大版《数学》（必修1）第二章第3节函数单调性的第一课时，主要学习用符号语言（不等式）刻画函数的变化趋势（上升或下降）及简单应用。
它是学习函数概念后研究的第一个、也是最基本的一个性质，为后继学习奠定了理性思维基础。如研究幂函数、指数函数、对数函数和三角函数的性质，包括导函数内容等；在对函数定性分析、求最值和极值、比较大小、解不等式、函数零点的判定以及与其他知识的综合问题上都有重要的应用。 因此，它是高中数学核心知识之一，是函数教学的战略要地。
【学情分析】
1．教学有利因素
学生在初中阶段，通过学习一次函数、二次函数和反比例函数，已经对函数的单调性有了“形”的直观认识，了解用“随的增大而增大（减小）”描述函数图象的上升（下降）的趋势，具备一定的观察、辨析、抽象概括和归纳类比等学习能力。
2．教学不利因素
本节课的最大障碍是如何用数学符号刻画一种运动变化的现象，从直观到抽象、从有限到无限是个很大的跨度。而高一学生的思维正处在从经验型向理论型跨越的阶段，逻辑思维水平不高，抽象概括能力不强。
【教学目标】
1.知识与技能
理解函数的单调性和单调函数的意义
会判断和证明一些简单函数的单调性的方法。
2.过程与方法
（1）培养从概念出发，进一步研究其性质的意识和能力；
（2）体会感悟数形结合，分类讨论的数学思想。
3.情感、态度价值观
由合适的例子引发学生探究数学知识的欲望，突出学生的主观能动性，激发学生学习数学的兴趣。
【教学重点和难点】
重点：函数单调性的概念，判断和证明一些简单函数单调性的方法。
难点：关于函数单调性概念的符号语言的认识，应用定义证明单调性的代数推理论证。
【教学过程】
创设情境，引入课题
实例 ： 科考队对沙漠气候进行科学考察，下图是某天气温随时间的变化曲线。请你根据曲线图说说气温的变化情况？（教师用PPT展示）
预设：学生的关注点不同，如气温的最值，某时刻的气温，某时间段气温的升降变化（若学生没指明时间段，可追问），等。
[点题]
图象在某区间上（从左往右）“上升”或“下降”的趋势是函数图象存在的普遍特征，这种变化趋势反映了函数的一个基本性质——单调性，上升与下降是我们的直观感受，今天师生一起定量的用数学符号刻画这种变化趋势。（板书课题）。
课堂活动：请同学们作出的函数图像。（教师用ppt展示结果）
[设问]从左到右观察，三个函数图像都呈现什么样的变化趋势？（学生容易观察出是上升的，是下降的，是先下降再上升的）
设计意图：（1）从科考情境导入新课，了解“早穿棉袄午穿纱，围着火炉吃西瓜”这一独特的沙漠气候，直观形象感知气温变化，自然引入函数的单调性。
（2）从学生最熟悉的 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 的证明。教师对照定义板书示范，指明变形的目的是变出因式 等，并让学生提炼证明的基本步骤。
（2）进一步理解单调函数的定义，明确递减区间只能写成不能合并。
练习：1.如图定义在的函数，请说出它的单调区间。
2. 判断并证明函数的单调性。
设计意图：（1）通过练习进一步深化理解定义，及定义的应用。
通过学生板演，了解学生掌握情况。教师通过PPT展示正确的示范，通过点评学生的作答掌握反馈信息。
[设问]：请同学们观察练习1中的函数图象，（-2，-2）是函数的最低点，（1,3）是函数的最高点。称2是函数的最小值，3是函数的最大值。同学能自己定义函数的最大值和最小值吗？
预设：请学生自愿尝试概括定义。学生的叙述不够严谨准确，教师加以纠正并板书。
例题2：已知函数，，求函数的最大值和最小值。
设计意图：（1）让学生自行完成单调性的判断，为求解最值做好准备。
（2）师生共同完成最大值和最小值的求解。一方面做好板书的示范作用，另一方让学生感受到单调性是求解最值的依据。
回顾反思，深化认识
师生共同总结本堂课的收获
知识：从图形语言，自然语言，符号语言三个方面理解单调性，单调区间，单调函数的概念。
方法：判断单调性的基本方法及步骤。取值—作差—变形—定号—下结论。
注意细节“任意”“描述单调性不能脱离区间。
数学思想：数形结合。
设计意图：要求学生自主小结，教师引导性关键词，使得总结简明、到位、拔高。
课后作业，课外延伸
必做题：2—3A组2,4,5
选做题：同学们内部讨论总结一次函数，反比例函数，二次函数的单调性的一般规律。
设计意图：课堂作业是为及时巩固初学的知识和方法。一次函数，反比例函数，二次函数是学生在初中学习过的函数，这些函数的单调性的一般规律是重点。
教学设计反思
本节课在函数单调性的教学设计中合理的设计台阶，层层递进，版主学生以具体的经验认知为支撑，结合生成过程开展教学。教学设置了图像、动态趋势、符号表示三个层次，以递进的方式帮助学生掌握相关知识。
在过渡到函数单调性的符号表示时，胃口突破难点，本节课重视两个方面：一是进行具体计算，通过PPT列举函数值，让学生理解接受；二是语言分析到位，设问明确，目的性强，利于学生操作。
教师教学时要注意解题的规范板演，便于学生掌握程序化操作，在这个过程中培养学生的逻辑思维能力。
函数单调性的证明中，难点是作差变形。针对学生可能“变形不到位，不彻底”的问题，应针对常见的恒等变形如配方，因式分解，通分等加以复习和强化。
板书设计
函数的单调性
一、递增：（板书定义）
递减：（学生类比）
（勾画重点）
二、单调区间
三、单调函数
四、例题（提炼步骤，明确变形方向）
五、练习（学生板演）
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