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第四章　三角形微专题（二）　与旋转有关的模型类型一　全等型手拉手模型 　顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形旋转——全等三角形，如图：总结：AC＝AB，∠CAE＝∠BAF，AE＝AF——△ACE≌△ABF（SAS）. 　如图，已知线段AB⊥直线l于点B，点D在直线l上，分别以AB，AD为边某某等边三角形ABC和ADE，直线CE交直线l于点F.当点F在线段BD上时，求证：DF＝CE－CF.证明：∵AB⊥直线l，∴∠ABD＝90°.∵△ABC和△ADE是等边三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠ACB＝∠ABC＝∠DAE＝60°.

∴∠DBC＝∠ABD－∠ABC＝30°，∠BAD＝∠CAE.∴△BAD≌△CAE.

∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE.∴∠ACE＝90°.

∴∠FCB＝180°－∠ACB－∠ACE＝30°.

∴∠DBC＝∠FCB.∴BF＝CF.

∴DF＝BD－BF＝CE－CF.（1）发现：如图①，当点D在AC上时，线段AE和线段BD的数量关系是?　AE＝BD　?，位置关系是?　AE⊥BD　?.（2）探究：如图②，将△DCE绕点C逆时针旋转，（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.AE＝BD　AE⊥BD　 　△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，连接AE，BD.解：成立.证明如下：

∵∠DCE＝∠ACB＝90°，∴∠DCE＋

∠ACD＝∠ACB＋∠ACD，即∠ECA＝∠DCB.

∵△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，

∴EC＝DC，CA＝CB.∴△ECA≌△DCB.

∴AE＝BD，∠1＝∠2.如图，设AE与BD相交于点P.∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4.∴180°－（∠1＋∠3）＝180°－（∠2＋∠4），即∠APB＝∠ACB.∴∠APB＝90°.∴AE⊥BD.类型二　相似型手拉手模型 　等角的顶点重合且等角的两边对应成比例的两个三角形旋转——相似三角形，如图：总结： ???? ???? ＝ ???? ???? ，∠CAE＝∠BAF——△ACE∽△ABF. 　如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE，CD与BE，AE分别交于点P，M.对于下列结论：①△BAE∽△CAD；②MP·MD＝MA·ME；③2CB2＝CP·CM.其中正确的是（　A　）A 　如图，已知四边形ABCD和EFCG均为正方形，点E在△ABC内，∠CAE＋∠CBE＝90°.（1）求证：△CAE∽△CBF；证明：∵四边形ABCD和EFCG均为正方形，∴ ???? ???? ＝ ???? ???? ＝ 2 .又∠ACE＋∠BCE＝∠BCF＋∠BCE＝45°，∴∠ACE＝∠BCF.∴△CAE∽△CBF.（2）若BE＝1，AE＝2，求BF和CE的长.解：∵△CAE∽△CBF，∴∠CAE＝∠CBF， ???? ???? ＝ ???? ???? ＝ 2 .∴ 2 ???? ＝ 2 .解得BF＝ 2 .

∵∠CAE＋∠CBE＝90°，

∴∠CBF＋∠CBE＝90°，即∠EBF＝90°.

∴EF2＝BE2＋BF2＝12＋（ 2 ）2＝3，则EF 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 常将半角两边的三角形通过旋转到一边合并形成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等. （1）等边三角形含半角（∠BDC＝120°）　　

结论：①△DFG≌△DFE；②EF＝FC＋BE.（2）等腰直角三角形含半角　　

结论：①△AEF≌△AED；②EF＝ED；③FC⊥BC.（3）正方形含半角　　

结论：①△AGE≌△AFE；②EF＝DF＋BE. 　如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，点M，N在BC上，且∠MAN＝60°.若BM＝2，CN＝3，则MN的长为（　A　）A[文章尾部最后300字内容到此结束,中间部分内容请查看底下的图片预览]

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