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《圆的标准方程》教学设计

一、教材分析

学习了“曲线与方程”之后，作为一般曲线典型例子，安排了本节的“圆的方程”。圆是学生比较熟悉的曲线，在初中曾经学习过圆的有关知识，本节内容是在初中所学知识及前几节内容的基础上，进一步运用解析法研究它的方程，它与其他图形的位置关系及其应用同时，由于圆也是特殊的圆锥曲线，因此，学习了圆的方程，就为后面学习其它圆锥曲线的方程奠定了基础也就是说，本节内容在教材体系中起到承上启下的作用，具有重要的地位，在许多实际问题中也有着广泛的应用。

二、学情分析

学生在初中的学习中已初步了解了圆的有关知识，本节将在上章t“_blank“学习了曲线与方程的基础上，t“_blank“学习在平面直角坐标系中建立圆的代数方程，运用代数t“_blank“方法研究直线与圆，圆与圆的位置关系，了解空间直角坐标系，在这个过程中进一步体会数形结合的t“_blank“思想，形成用代数t“_blank“方法解决几何问题的能力。

三、t“_blank“教学目标

（一）知识与技能目标

（1）会推导圆的标准方程。

（2）能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径。

（3）掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程。

（二）过程与方法目标

（1）体会数形结合t“_blank“思想，初步形成代数t“_blank“方法处理几何问题能力。

（2）能根据不同的条件，利用待定系数法求圆的标准方程。

（三）情感与态度目标

圆是基于初中的知识，同时又是初中的知识的加深，使学生懂得知识的连续性；圆在生活中很常见，通过圆的标准方程，说明理论既来源于实践，又服务于实践，可以适时进行辩证唯物主义思想教育．

四、重点、难点、疑点及解决办法

1、重点：圆的标准方程的推导过程和圆标准方程特征的理解与掌握。

2、难点：圆的标准方程的应用。

3、解决办法：充分利用课本提供的2个例题，通过例题的解决使t“_blank“学生初步熟悉圆的标准方程的用途和用法。

五、教学过程

首先通过课件展示生活中的圆，那么我们今天从另一个角度来研究圆。

（一）复习提问

在初中，大家学习了圆的概念，哪一位同学来回答？

问题1：具有什么性质的点的轨迹称为圆？

平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆（教师在课件上画圆）．

问题2：图哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？圆心和半径都反映了圆的什么特点？

圆心C是定点，圆周上的点M是动点，它们到圆心距离等于定长|MC|=r，圆心和半径分别确定了圆的位置和大小．

问题3：求曲线的方程的一般步骤是什么？其中哪几个步骤必不可少？

求曲线方程的一般步骤为：

（1）建立适当的直角坐标系，用（x，y）表示曲线上任意点M的坐标，简称建系设点；（如图）

（2）写出适合条件P的点M的集合P={M|P（M）|}，简称写点集；

（3）用坐标表示条件P（M），列出方程f（x，y）=0，简称列方程；

（4）化方程f（x，y）=0为最简形式，简称化简方程；

（5）证明化简后的方程就是所求曲线的方程，简称证明．

其中步骤（1）（3）（4）必不可少．

下面我们用求曲线方程的一般步骤来建立圆的标准方程．

（二）建立圆的标准方程

1．建系设点

由学生在黑板上板演，并问有无不同建立坐标系的方法．教师指出：这两种建立坐标系的方法都对，原点在圆心这是特殊情况，现在仅就一般情况推导．因为C是定点，可设C（a，b）、半径r，且设圆上任一点M坐标为（x，y）．

2．写点集

根据定义，圆就是集合P={M||MC|=r}．

3．列方程

由两点间的距离公式得：

4．化简方程

将上式两边平方得：（x-a）2+（y-b）2=r2．（1）

方程（1）就是圆心是C（a，b）、半径是r的圆的方程．我们把它叫做圆的标准方程．

这时，请大家思考下面一个问题．

问题4：圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时，圆的方程是什么？

这是二元二次方程，展开后没有xy项，括号内变数x，y的系数都是1．点（a，b）、r分别表示圆心的坐标和圆的半径．当圆心在原点即C（0，0）时，方程为x2+y2=r2．

教师指出：圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要a，b，r三个量确定了且r＞0，圆的方程就给定了．这就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件．注意，确定a、b、r，可以根据条件，利用待定系数法来解决．

（三）圆的标准方程的应用

学生练习一：

1说出下列圆的圆心和半径：（学生回答）

（1）（x-3）2+（y-2）2=5；

（2）（2x+4）2+（2y－4）2=8；

（3）（x+2）2+y2=m2（m≠0）

教师指出：已知圆的标准方程，要能够熟练地求出它的圆心和半径．

2、（1）圆心是（3，－3），半径是2的圆是_________________.

（2）以（3，4）为圆心，且过点（0，0）的圆的方程为（）

Ax2+y2=25Bx2+y2=5C（x+3）2+（y+4）2=25D（x-3）2+（y-4）2=25

教师纠错，分别给出正确答案：2、（1）（x-3）2+（y＋3）2=4；（2）D.

指出：要求能够用圆心坐标、半径长熟练地写出圆的标准方程．

例1求满足下列条件各圆的方程：

求以C（1，3）为圆心，并且和直线相切的圆的方程

圆心在x轴上，半径为5且过点（2，3）的圆。

解：（1）已知圆心坐标C（1，3），故只要求出圆的半径，就能写出圆的标准方程因为圆C和直线相切，所以半径就等于圆心C到这条直线的距离根据点到直线的距离公式，得

因此，所求的圆的方程是

（2）设圆心在x轴上半径为5的圆的方程为（x-a）2+y2=25

∵点A（2，3）在圆上∴（2－a）2+32=25∴a=-2或6

∴所求圆的方程为（x＋2）2+y2=25或（x-6）2+y2=25

这时，教师小结本题：求圆的方程的方法

（1）定义法

（2）待定系数法，确定a，b，r；

学生练习二：

以C（3，-5）为圆心，且和直线3x-7y+2=0相切的圆的方程_________________________.

教师纠错，分别给出正确答案：（x－3）2+（y+5）2=32。

例2已知圆的方程，求经过圆上一点的切线方程

解：如图，设切线的斜率为，半径OM的斜率为因为圆的切线垂直于过切点的半径，于是

∵∴（让学生注意斜率不存在时和为0的情况）

经过点M的切线方程是，

整理得

因为点在圆上，所以，所求切线方程是

法二：勾股定理

法三：向量

变式一：已知圆的方程为x2+y2=1，求过点（2，2）的切线方程。

变式二：已知圆的方程为（x-1）2+（y+1）2=1，求过点（2，2）的切线方程。

学生练习三：

1.已知圆求：

（1）过点A（4，-3）的切线方程是_________________.

（2）过点B（-5，2）的切线方程是_________________

教师纠错，分别给出正确答案：（1）4x-3y=25；（2）x=-5或21x-20y+145=0

（四）本课小结

1．圆的方程的推导步骤；

2．圆的方程的特点：点（a，b）、r分别表示圆心坐标和圆的半径；

3．求圆的方程的两种方法：（1）待定系数法；（2）定义法．

4.数型结合的数学思想

5.过定点求圆切线方程.

（五）、布置作业习题7.61，2，3

（六）、板书设计

7.6圆的标准方程 建立圆的标准方程

圆的方程的推导

（x-a）2+（y-b）2=r2

圆的标准方程的特点：

圆心（a，b）定位，r定型 圆的标准方程的应用

例1

例2

学生练习 六、教学反思：

课堂练习

1、说出下列圆的圆心和半径：

（1）（x-3）2+（y-2）2=5；圆心_______，半径________.

（2）（2x+4）2+（2y－4）2=8；圆心_______，半径________.

（3）（x+2）2+y2=m2（m≠0）圆心_______，半径________.

2、（1）圆心是（3，4），半径是2的圆是_________________.

（2）以（3，4）为圆心，且过点（0，0）的圆的方程为（）

Ax2+y2=25Bx2+y2=5C（x+3）2+（y+4）2=25D（x-3）2+（y-4）2=25

3．以C（3，-5）为圆心，且和直线3x-7y+2=0相切的圆的方程_________________________.

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