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《用向量讨论垂直与平行》教学设计

本节教材分析：

1．三维目标：

（1）知识与技能目标：

理解平面的法向量的概念，并会求平面的法向量；了解平面法向量的应用，并能用法向量论证相关的立体几何问题；掌握正射影的概念，掌握三垂线定理及其逆定理，并能应用此定理解题.

（2）过程与方法目标：

通过学习平面法向量的概念，思考如何用空间向量解决立体几何问题？激发学生的学习兴趣，明确下一阶段的学习目标.

（3）情感、态度与价值观目标：

通过学习总结平面法向量的解题方法，探索空间向量在解决立体几何问题中发挥的作用，发展学生的空间想象能力、探究能力，提高学生的科学思维素养；引导、学生探究，激发学生求知欲望和学习兴趣，使学生养成严谨认真的科学态度.

2．教学重点：平面法向量的概念及其应用，正射影的概念，三垂线定理及逆定

3．教学难点：对平面法向量的理解及灵活运用，三垂线定理的证明思路及三垂线定理的应用。

4．教学建议：

教学中要明确平面法向量的定义是从向量
的基线与平面垂直引入的，一个平面的所有法向量都是共线向量，求平面的法向量只须求出一个即可.

证明直线与平面垂直的判定定理利用了平面法向量的性质.应向学生讲清如何将几何条件转化为向量语言，应从步骤上强调：选取以直线和平面内的直线为基线的向量；通过已知向量表示未知向量，或选用基向量表示其他向量；通过向量运算去证明，以加强几何位置关系与向量关系的相互转化.

平面的向量表示坐标化后实质是求了平面的方程.

我们利用平面的法向量可以论证平面与平面垂直、平行，讲解原理之前应先复习平面与平面平行、垂直的相关判定定理,然后转化到向量上来学生便于理解

三垂线定理是重要内容，它的实质是线面垂直，用处很多，可结合例题体会三垂线定理及其逆定理的证题思路，归纳总结：一定平面，二找垂线，三证垂直..

新课导入设计导入一：

【导入设计】

复习提问：1、直线的方向向量的定义

2、如何用向量的方法证明直线与直线、直线与平面、平面与平面 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 或求出问题中涉及的直线的方向向量和平面的法向量，把立体几何问题转化为向量问题。（2）通过向量运算，讨论向量的共线或垂直。（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义，从而确定直线与平面之间的位置关系。2．怎样确定直线的方向向量？ 　　在直线上取有向线段表示的向量，或在与它平行的直线上取有向线段表示的向量，均为直线的方向向量。在解具体立体几何题时，直线的方向向量一般不再叙述而直接应用，可以参与向量运算或向量的坐标运算。

3．怎样确定平面的法向量？

平面的法向量确定通常有两种方法：

（1）几何体中有具体的直线与平面垂直，只需证明线面垂直,取该垂线的方向向量即得平面的法向量；

（2）几何体中没有具体的直线，此时可以采用待定系数法求解平面的法向量。具体过程为：设n=(x,y,z)为平面/的法向量，利用n与平面内的两个不共线的向量a，b垂直，其数量积为零，列出两个三元一次方程，联立后取其一组解，即得到平面/的一个法向量。

4．如何利用向量知识判断直线与平面间的平行或垂直问题？

用向量知识判断线面间的位置关系时，主要是研究直线的方向向量、平面的法向量之间的共线或垂直关系。通常情况下，构建空间直角坐标系，用坐标运算进行。

　　平行关系包括：线线平行、线面平行和面面平行。

　　两条不同直线的方向向量共线时，两直线平行。

　　平面外一直线与该平面的法向量垂直时，直线与平面平行。

　　两平面的法向量共线时，两平面平行。

　　垂直关系包括：线线垂直、线面垂直和面面垂直。

　两直线的方向向量垂直时，两直线垂直。

　　一直线的方向向量和一平面的法向量共线时，直线与平面垂直。

　　两平面的法向量垂直时，两平面垂直。

5．立体几何中的向量方法解决问题的“三步曲”

①建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中所涉及的点、线、面，把立体几何问题转化为向问题；

②通过向量运算，研究点、直线、平面之间的关系；

③根据运算结果的几何意义来解释相关问题。

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