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《圆》章节知识点复习

圆的记忆口诀：

常把半径直径连，有弦可做弦心距，它定垂直平分弦，直圆周角立上边。

圆有内接四边形，对角互补记心间，外角等于内对角，四边形定内接圆，

直角相对成某某，试试加一个辅助圆，若是证题打转轴，四点共圆可解难，

要想证明圆切线，垂直半径过外端，直线与圆有共点，证垂直来半径连

直线与圆未给点，需证半径作垂线，四边形有内切圆，对边和等是条件，

如果遇到圆与圆，弄清位置很关键，圆相切做公切，两圆想交连工弦。

一、圆的概念

集合形式的概念：

1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；

轨迹形式的概念：

1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；

2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；

3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；

4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；

5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

二、点与圆的位置关系

1、点在圆内


点
在圆内；

2、点在圆上


点
在圆上；

3、点在圆外


点
在圆外；

三、直线与圆的位置关系

1、直线与圆相离


无交点；

2、直线与圆相切


有一个交点；

3、直线与圆相交


有两个交点；

///

四、圆与圆的位置关系

外离（图1）
无交点

；

外切（图2）
有一个交点

；

相交（图3）
有两个交点

；

内切（图4）
有一个交点

；

内含（图5）
无交点

；

/ /

五、垂径定理

垂径定理：垂直于某某的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于某某，并且平分弦所对的两条弧；

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：

①
是直 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 推出最后一个。

十、切线长定理

切线长定理：

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

即：∵
、
是的两条切线

∴

平分

十一、圆幂定理

（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。

即：在⊙
中，∵弦
、
相交于某某
，

∴

（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。

即：在⊙
中，∵直径
，

∴

（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

即：在⊙
中，∵
是切线，
是割线

∴

（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。

即：在⊙
中，∵
、
是割线

∴

十二、两圆公共弦定理

圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。

如图：
垂直平分
。

即：∵⊙
、⊙
相交于
、
两点

∴
垂直平分

十三、圆的公切线

两圆公切线长的计算公式：

（1）公切线长：
中，
；

（2）外公切线长：
是半径之差； 内公切线长：
是半径之和 。

十四、弦切角定理

顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。

弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。

/

十五、圆内正多边形的计算

（1）正三角形

在⊙
中△
是正三角形，有关计算在
中进行：
；

（2）正四边形

同理，四边形的有关计算在
中进行，
：

（3）正六边形

同理，六边形的有关计算在
中进行，
.

十六、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式

1、扇形：（1）弧长公式：
；

（2）扇形面积公式：

：圆心角
：扇形多对应的圆的半径
：扇形弧长
：扇形面积

2、圆柱：

（1）圆柱侧面展开图

=

（2）圆柱的体积：

3、侧面展开图

（1）
=

（2）圆锥的体积：

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