用特征方程求数列的通项
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用特征方程求数列的通项
一、递推数列特征方程的研究与探索
递推(迭代)是中学数学中一个非常重要的概念和方法，递推数列问题能力要求高，内在联系密切，蕴含着不少精妙的数学思想和方法。递推数列的特征方程是怎样来的？
（一）、 若数列满足其通项公式的求法一般采用如下的参数法，将递推数列转化为等比数列：
设 ，令，即，当时可得
，知数列是以为公比的等比数列，
将代入并整理，得. 故数列对应的特征方程是：x=cx+d
（二）、二阶线性递推数列
仿上，用上述参数法我们来探求数列的特征：不妨设，则, 令 （ XXXXX）
（1）若方程组（ XXXXX）有两组不同的实数解,
则, , 即、分别是公比为、的等比数列，由等比数列通项公式可得 ①, ②,
∵由上两式①+②消去可得 .
（2）若方程组（ XXXXX）有两组相等的解，易证此时，则
，,即是等差数列，由等差数列通项公式可知，所以．
这样，我们通过参数方法，将递推数列转化为等比（差）数列，从而求得二阶线性递推数列的通项，若将方程组（XXXXX）消去即得，显然、就是方程的两根，我们不妨称此方程为二阶线性递推数列的特征方程，
所以有结论： 若递推公式为 则其特征方程为
若方程有两相异根、，则；
若方程有两等根，则. 其中、可由初始条件确定。
（三）分式线性递推数列（），
将上述方法继续类比，仿照前面方法，等式两边同加参数，则
①，
令，即 ②， 记②的两根为，
（1） 若，将分别代入①式可得
，
以上两式相除得，于是得到为等比数列，其公比为，数列的通项可由求得；
（2）若，将代入①式可得,考虑到上式结构特点，两边取倒数得
③
由于时方程③的两根满足，∴
于是④式可变形为
∴为等差数列，其公差为，
∴ 数列的通项可由求得．
这样，利用上述方法，我们可以把分式线性递推数列转化为等比数列或等差数列，从而求得其通项。如果我们引入分式线性递推数列的特征方程为，即，此特征方程的两根恰好是方程②两根的相反数，于是我们得到如下结论：
分式线性递推数列的特征方程为
1、若方程有两相异根、，则成等比数列，其公比为；
2、若方程有两等根，则成等差数列，其公差为.
值得指出的是，上述结论在求相应数列通项公式时固然有用，但将递推数列转化为等比（等差）数列的思想方法更为重要。如对于其它形式的递推数列，我们也可借鉴前面的参数法，求得通项公式，其结论与特征方程法完全一致，
三、例题
已知数列且，求通项公式。
解 设，∴
令 ， 可得， 于是
…，
∴，即是以为首项、为公差的等差数列，
∴，从而.
例2、设数列满足.
解： 对等式两端同加参数得
令，解某某，，代入上式
得 ，
两式相除得
即的等比数列，
∴．
四、本课小结：
1．可用特征方程解决递推数列的三类模型
⑴．线性递推关系： 已知
⑵．齐次二阶线性递推关系： 已知 且
⑶．分式递推关系： 已知，
2. 特征根方程及求法
⑴． 的特征根方程为 x=px+q，其根为,则=p()
⑵. 的特征根方程为设两实根为, 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 得考虑特征方程得特征根所以，所以数列是以为首项,公比为的等比数列，，故 即
5、解: 考虑特征方程，得特征根，
所以数列是以为首项,公差为1的等差数列，
故 即
6．解：其特征方程为，解得，令，
由，得，
7．解：其特征方程为，解得，令，
由，得，
8．解：其特征方程为，得，解得，令 由得，可得，数列是以为首项为公比的等比数列，，
9．解：其特征方程为，即，解得，
令 ， 由得，求得，
数列是以为首项，以为公差的等差数列，
，
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