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高中数学必修5知识点

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高中数学必修5知识点

第一章解三角形

（一）解三角形：

1、正弦定理：在中，、、分别为角、、的对边，，则有

(为的外接圆的半径)

2、正弦定理的变形公式：①，，；

②，，；③；

3、三角形面积公式：．

4、余弦定理：在中，有，推论：

第二章数列

1、数列中与之间的关系：

注意通项能否合并。

2、等差数列：

⑴定义：如果一个数列从第2项某某，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，即－=d ，（n≥2，n∈N），

那么这个数列就叫做等差数列。

⑵等差中项：若三数成等差数列

⑶通项公式：

或

⑷前项某某公式：

⑸常用性质：

①若，则；

②下标为等差数列的项，仍组成等差数列；

③数列（为常数）仍为等差数列；

④若、是等差数列，则、 (、是非零常数)、、，…也成等差数列。

⑤单调性：的公差为，则：

ⅰ）为递增数列；

ⅱ）为递减数列；

ⅲ）为常某某；

⑥数列{}为等差数列（p,q是常数）

⑦若等差数列的前项某某，则、、… 是等差数列。

3、等比数列

⑴定义：如果一个数列从第2项某某，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。

⑵等比中项：若三数成等比数列（同号）。反之不一定成立。

⑶通项公式：

⑷前项某某公式：

⑸常用性质

①若，则；

②为等比数列，公比为(下标成等差数列,则对应的项某某等比数列)

③数列（为不等于零的常数）仍是公比为的等比数列；正项等比数列；则是公差为的等差数列；

④若是等比数列，则

是等比数列，公比依次是

⑤单调性：

为递增数列；为递减数列；

为常某某；

为摆动数列；

⑥既是等差数列又是等比数列的数列是常某某。

⑦若等比数列的前项某某，则、、… 是等比数列.

4、非等差、等比数列通项公式的求法

类型Ⅰ 观察法：已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项。

类型Ⅱ 公式法：若已知数列的前项某某与的关系，求数列的通项可用公式构造两式作差求解。

用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和合为一个表达，（要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）。

类型Ⅲ 累加法：

形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：

将上述个式子两边分别相加，可得：

①若是关于的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;

② 若是关于的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;

③若是关于的二次函数，累加后可分组求和;

④若是关于的分式函数，累加后可裂项求和.

类型Ⅳ 累乘法：

形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：

将上述个式子两边分别相乘，可得：

有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。

类型Ⅴ 构造数列法：

㈠形如（其中均为常数且）型的递推式：

（1）若时，数列{}为等差数列;

（2）若时，数列{}为等比数列;

（3）若且时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.方法有如下两种：

法一：设,展开移项整理得,与题设比较系数（待定系数法）得,即构成某某为首项，以为公比的等比数列.再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得

法二：由得两式相减并整理得即构成某某为首项，以为公比的等比数列.求出的通项再转化为类型Ⅲ（累加法）便可求出

㈡形如型的递推式：

⑴当为一次函数类型（即等差数列）时：

法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成某某为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得

法二：当的公差为时，由递推式得：，两式相减得：，令得：转化为类型Ⅴ㈠求出，再用类型Ⅲ（累加法）便可求出

⑵当为指数函数类型（即等比数列）时：

法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成某某为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得

法二：当的公比为时，由递推式得：——①，，两边同时乘以得——②，由①②两式相减得，即，在转化为类型Ⅴ㈠便可求出

法三：递推公式为（其中p，q均为常数）或（其中p，q, r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以，得：，引入辅助数列（其中），得：再应用类型Ⅴ㈠的方法解决。

⑶当为任意数列时，可用通法：

在两边同时除以可得到，令，则，在转化为类型Ⅲ（累加法），求出之后得.

类型Ⅵ 对数变换法：

形如型的递推式：

在原递推式两边取对数得，令得：，化归为型，求出之后得（注意：底数不一定要取10，可根据题意选择）。

类型Ⅶ 倒数变换法：

形如（为常数且）的递推式：两边同除于，转化为形式，化归为型求出的表达式，再求；

还有形如的递推式，也可采用取倒数方法转化成形式，化归为型求出的表达式，再求.

类型Ⅷ 形如型的递推式：

用待定系数法，化为特殊数列的形式求解。方法为：设，比较系数得，可解得，于是是公比为的等比数列，这样就化归为型。

总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解，对不能转化为以上方法求解的数列，可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式

5、非等差、等比数列前项某某公式的求法

⑴错位相减法

①若数列为等差数列，数列为等比数列，则数列的求和就要采用此法.

②将数列的每一项分别乘以的公比，然后在错位相减，进而可得到数列的前项某某.

此法是在推导等比数列的前项某某公式时所用的方法.

⑵裂项相消法

一般地，当数列的通项时，往往可将变成两项的差，采用裂项相消法求和.

可用待定系数法进行裂项：

设，通分整理后与原式相比较，根据对应项系数相等得，从而可得

常见的拆项公式有：

①

②

③

④

⑤

⑶分组法求和

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.一般分两步：①找通向项公式②由通项公式确定如何分组.

⑷倒序相加法

如果一个数列，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到了一个常某某的和，这种求和方法称为倒序相加法。特征：

⑸记住常见数列的前项某某：

①

②

③

第三章不等式

§3.1、不等关系与不等式

1、不等式的基本性质

①（对称性）

②（传递性）

③（可加性）

（同向可加性）

（异向可减性）

④（可积性）

⑤（同向正数可乘性）

（异向正数可除性）

⑥（平方法则）

⑦（开方法则）

⑧（倒数法则）

2、几个重要不等式

①,（当且仅当时取号）. 变形公式：

②（基本不等式） ,（当且仅当时取到等号）.

变形公式：

用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.

③（三个正数的算术—几何平均不等式）（当且仅当时取到等号）.

④

（当且仅当时取到等号）.

⑤

（当且仅当时取到等号）.

⑥（当仅当a=b时取等号）

（当仅当a=b时取等号）

⑦

其中

规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小.

⑧

⑨绝对值三角不等式

3、几个著名不等式

①平均不等式：

,（当且仅当时取号）.

（即调和平均几何平均算术平均平方平均）.

变形公式：

②幂平均不等式：

③二维形式的三角不等式：

④二维形式的柯西不等式：当且仅当时，等号成立.

⑤三维形式的柯西不等式：

⑥一般形式的柯西不等式：

⑦向量形式的柯西不等式：

设是两个向量，则当且仅当是零向量，或存在实数，使时，等号成立.

⑧排序不等式（排序原理）：设为两组实数.是的任一排列，则（反序和乱序和顺序和）

当且仅当或时，反序和等于顺序和.

⑨琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数）

若定义在某区间上的函数,对于定义域中任意两点有

则称f(x)为凸（或凹）函数.

4、不等式证明的几种常用方法

常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；

其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等.

常见不等式的放缩方法：

①舍去或加上一些项，如

②将分子或分母放大（缩小），如

等.

5、一元二次不等式的解法

求一元二次不等式

解集的步骤：

一化：化二次项前的系数为正数.

二判：判断对应方程的根.

三求：求对应方程的根.

四画：画出对应函数的图象.

五解集：根据图象写出不等式的解集.

规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.

6、高次不等式的解法：穿根法.

分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切），结合原式不等号的方向，写出不等式的解集.

7、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则

（时同理）

规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解.

8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解

⑴

⑵

⑶

⑷

⑸

规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解.

9、指数不等式的解法：

⑴当时,

⑵当时,

规律：根据指数函数的性质转化.

10、对数不等式的解法

⑴当时,

⑵当时,

规律：根据对数函数的性质转化.

11、含绝对值不等式的解法：

⑴定义法：

⑵平方法：

⑶同解变形法，其同解定理有：

①

②

③

④

规律：关键是去掉绝对值的符号.

12、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法：

规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集.

13、含参数的不等式的解法

解形如且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有：

⑴讨论与0的大小；

⑵讨论与0的大小；

⑶讨论两根的大小.

14、恒成立问题

⑴不等式的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：

①当时

②当时

⑵不等式的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：

①当时

②当时

⑶恒成立

恒成立

⑷恒成立

恒成立

15、线性规划问题

⑴二元一次不等式所表示的平面区域的判断：

法一：取点定域法：

由于直线的同一侧的所有点的坐标代入后所得的实数的符号相同.所以，在实际判断时，往往只需在直线某一侧任取一特殊点（如原点），由的正负即可判断出或表示直线哪一侧的平面区域.

即：直线XX界，分清虚实；选点定区域，常选原点.

法二：根据或，观察的符号与不等式开口的符号，若同号，或表示直线上方的区域；若异号，则表示直线上方的区域.即：同号上方，异号下方.

⑵二元一次不等式组所表示的平面区域：

不等式***表示的平面区域的公共部分.

⑶利用线性规划求目标函数为常数）的最值：

法一：角点法：

如果目标函数（即为公共区域中点的横坐标和纵坐标）的最值存在，则这些最值都在该公共区域的边界角点处取得，将这些角点的坐标代入目标函数，得到一组对应值，最大的那个数为目标函数的最大值，最小的那个数为目标函数的最小值

法二：画——移——定——求：

第一步，在平面直角坐标系中画出可行域；第二步，作直线，平移直线（据可行域，将直线平行移动）确定最优解；第三步，求出最优解；第四步，将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值 .

第二步中最优解的确定方法：

利用的几何意义：,为直线的纵截距.

①若则使目标函数所表示直线的纵截距最大的角点处，取得最大值，使直线的纵截距最小的角点处，取得最小值；

②若则使目标函数所表示直线的纵截距最大的角点处，取得最小值，使直线的纵截距最小的角点处，取得最大值.

⑷常见的目标函数的类型：

①“截距”型：

②“斜率”型：或

③“距离”型：或

或

在求该“三型”的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解，从而使问题简单化.

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