专题三 数列(1) 等差数列与等比数列
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专题三 数列(1) 等差数列与等比数列
一.考情分析 1.从具体内容上，主要考查等差数列、等比数列的基本计算和基本性质及等差、等比数列中项的性质、判定与证明． 2.从高考特点上，难度以中、低档题为主，近几年高考题一般设置一道选择题和一道解答题，分值分别为5分和12分.
二.核心知识回顾 1.等差数列 (1)通项公式： an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d.
(2)等差中项公式： 2an＝an－1＋an＋1(n∈N*，n≥2)．(3)前n项和公式： Sn＝＝na1＋.
2．等比数列 (1)数列通项公式： an＝a1qn－1＝amqn－m. (2)等比中项公式： a＝an－1·an＋1(n∈N*，n≥2)． (3)数列的前n项和公式：Sn＝.
3．等差数列的性质(n，m，l，k，p均为正整数)
(1)若m＋n＝l＋k，则am＋an＝al＋ak(反之不一定成某某)；特别地，当m＋n＝2p时，有am＋an＝2ap.
(2)若{an}，{bn}是等差数列，则{kan＋tbn}(k，t是非零常数)是等差数列．
(3)等差数列“依次每m项的和”即Sm， S2m－Sm， S3m－S2m，…仍是等差数列．
(4)等差数列{an}，当项数为2n时，S偶－S奇＝nd，＝，项数为2n－1时，S奇－S偶＝a中＝an，S2n－1＝(2n－1)an且＝.(其中S偶表示所有的偶数项之和，S奇表示所有的奇数项之和)
4．等比数列的性质(n，m，l，k，p均为正整数)
(1)若m＋n＝l＋k，则am·an＝al·ak(反之不一定成某某)；特别地，当m＋n＝2p时，有am·an＝a.
(2)当n为偶数时，＝q(公比)．(其中S偶表示所有的偶数项之和，S奇表示所有的奇数项之和)
(3)等比数列“依次m项的和”，即Sm， S2m－Sm， S3m－S2m，…(Sm≠0)成等比数列．
三.热点考向探究 考向1 等差数列、等比数列的运算
(1)例1 (1)在等差数列{an}中，其前n项某某Sn，且满足若a3＋S5＝12，a4＋S7＝24，则a5＋S9＝( )
A．24 B．32 C．40 D．72
解析 ∵a3＋S5＝6a3＝12，a4＋S7＝8a4＝24，∴a3＝2，a4＝3，∴a5＝4，∴a5＋S9＝10a5＝40.故选C.
(2)在等差数列{an}中，已知a4＝5，a3是a2和a6的等比中项，则数列{an}的前5项的和为( )
A．15 B．20 C．25 D．15或25
解析 设公差为d，∵a3为a2，a6的等比中项，∴a＝a2·a6，即(a4－d)2＝(a4－2d)(a4＋2d)，∴5d(d－2)＝0，∴d＝0或d＝2.∴5－d＝5或3，即a3＝5或3，∴S5＝5a3＝25或15. 故选D.
(3)已知正项数列{an}满足a－6a＝an＋1an，若a1＝2，则数列{an}的前n项某某________．
解析 ∵a－6a＝an＋1an，∴(an＋1－3an)(an＋1＋2an)＝0，∵an>0，∴an＋1＝3an，∴{an}为等比数列，且首项为2，公比为3，∴Sn＝3n－1.
(2)方法指导: 利用等差数列、等比数列的通项公式、前n项和公式，能够在已知三个元素的前提下求解另外两个元素，其中等差数列的首项和公差、等比数列的首项和公比为最基本的量，解题中首先要注意求解最基本的量．
(3)对点精炼 1．在各项为正数的等比数列{an}中，S2＝9，S3＝21，则a5＋a6＝( )
A．144 B．121 C．169 D．148
2．我国南北朝时的数学著作《张邱建算经》有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中间四人未到者，亦依次更给，问各得金几何？”则在该问题中，五等人与六等人所得黄金数之和为( ) A. B. C. D.
3．定义：在数列{an}中，若满足－＝d(n∈N*，d为常数)，称{an}为“等差比数列”．已知在“等差比数列”{an}中，a1＝a2＝1，a3＝3，则＝( ) A．4×20202－1 B．4×20192－1 C．4×20222－1 D．4×20192
考向2 等差数列、等比数列的判定与证明
(1)例2 已知数列{an}中，a1＝1，其前n项的和为Sn，且满足an＝(n≥2，n∈N*)．
(1)求证：数列是等差数列； (2)证明：S1＋S2＋S3＋…＋Sn＋－＝0，
∴Tn＋1>Tn，则Tn随着n的增大而增大，即Tn在n＝1处取最小值，∴T1＝S2－S1＝，
∵对一切n∈N*，恒有S2n－Sn>成某某，∴>即可，解得m0，n>0)，当且仅当n＝2m时“＝”成某某，所以＋的最小值为.
9.解析 设等比数列{an}的公比为q，∵a1＝1，＝8，∴＝8，解得q＝2，则a6＝25＝32.故选D.
10解析 ∵a1a2，a3a4，a5a6成等比数列，即(a3a4)2＝(a1a2)(a5a6)，∴(a3a4)2＝4，a3a4与a1a2符号相同，故a3a4＝2，
11.解析 将a1＋1，a2＋1，a4＋1转化为a1，d的形式为a1＋1，a1＋1＋d，a1＋1＋3d，由于这三个数成以d为公比的等比数列，故＝＝d，化简得a1＋1＝d，代入＝d，得＝2＝d，故选A.
12.解析 设等差数列{an}的公差为d，由S3＝9，S6＝36，得即
解得所以a7＋a8＋a9＝3a8＝3(a1＋7d)＝3×(1＋7×2)＝45.
13.解析 设等比数列{an}的公比为q，则S6＝(1＋q3)S3，S9＝(1＋q3＋q6)S3，因为S3，S9，S6成等差数列，所以2(1＋q3＋q6)S3＝S3＋(1＋q3)S3，解得q3＝－，故S6＝S3.
14.解析 函数y＝f(x＋1)的图象关于y轴对称，平移可得y＝f(x)的图象关于x＝1对称，且函数f(x)在(1，＋∞)上单调，由数列{an}是公差不为0的等差数列，且f(a4)＝f(a18)，可得a4＋a18＝2，所以a1＋a21＝a4＋a18＝2，可得数列{an}的前21项和S21＝＝21.故选C.
15.解析 由2Sn＝an＋1得2Sn＝an＋1＝Sn＋1－Sn，所以3Sn＝Sn＋1，即＝3，所以数列{Sn}是以S1＝a1＝1为首项，q＝3为公比的等比数列，所以Sn＝3n－1.
16.解析 设等比数列{an}的公比为q，∵a1＋a2＝－1，a1－a3＝－3，∴a1(1＋q)＝－1，① a1(1－q2)＝－3. ②
∵a1＋a2＝－1≠0，∴q≠－1，即1＋q≠0.②÷①，得1－q＝3，∴q＝－2.∴a1＝1，∴a4＝a1q3＝1×(－2)3＝－8.
17.解析 由题设可得an＋1＝，an＝，得2bn＝an＋an＋1?2bn＝＋，即2＝＋，又a1＝1，a2＝3?2b1＝4?b1＝2，则{}是首项为的等差数列．由已知得b2＝＝，则数列{}的公差d＝－＝－＝，所以＝＋(n－1)＝，即＝.当n＝1时，＝，当n≥2时，＝，则an＝＝，a1＝1符合上式，所以数列{an}的通项公式为an＝.
18.解析 由题意可得，当n＝1时，a1＝4，解得a1＝12.当n≥2时，a1＋a2＋…＋an－1＝3n－2，所以an＝3，n≥2，即an＝3n＋1，n≥2，又当n＝1时，an＝3n 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 >0，所以an＋1＝Sn＋1, ③
所以an＋2＝Sn＋1＋1, ④ ④－③，得an＋2－an＋1＝an＋1，即an＋2＝2an＋1，所以当n≥2时，＝2.
又由3T2＝S＋2S2，得3(1＋a)＝(1＋a2)2＋2(1＋a2)，即a－2a2＝0.
因a2>0，所以a2＝2，所以＝2，所以对n∈N*，都有＝2成某某，所以数列{an}的通项公式为an＝2n－1，n∈N*.
22.解 (1)设数列{an}的公比为q.因为a2，a3，a4－1成等差数列．所以2a3＝a2＋a4－1，得2a1q2＝a1q＋a1q3－1.
又a1＝，则2×q2＝q＋q3－1，即q2＝q＋q3－1.所以2q2＝q＋q3－2，所以2q2＋2＝q＋q3，
所以2(q2＋1)＝q(q2＋1)．所以(q2＋1)(2－q)＝0. 显然q2＋1≠0，所以2－q＝0，解得q＝2.
故数列{an}的通项公式an＝a1·qn－1＝·2n－1＝2n－2.
(2)由(1)知，bn＝2log22n－2＋4＝2(n－2)＋4＝2n. 所以＝＝.
则Tn＝＝＝.
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