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高二期末模拟数学试题

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．

1．双曲线
的渐近线方程是（ ）

A．
B．
C．
D．

2．等差数列
的前
项某某
，且
，
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

3.已知直线
和
互相平行，则实数
等于（ ）

A．
或
B．
C．
D．
或

4．我国古代数学名著《算法统宗》中说：九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠；次第每人多十七，要将第八数来言；务要分明依次第，孝和休惹外人传，说的是，有
斤棉花全部赠送给
个子女做旅费，从第
个孩子开始，以后每人依次多
斤，直到第
个孩子为止．在这个问题中，第
个孩子分到的棉花为（ ）

A．
斤 B．
斤 C．
斤 D．
斤

5．已知在一个二面角的棱上有两个点
、
，线段
、
分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于某某
，
，
，
，
，则这个二面角的度数为（ ）

A．
B．
C．
D．

6．已知数列
的各项均为正数，
，
，若数列
的前
项某某
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

7．已知抛物线
，
为其焦点，抛物线上两点
、
满足
，则线段
的中点到
轴的距离等于（ ）

A．
B．
C．
D．

8．已知数列
满足
，且
，则数列
的前
项和
（ ）

A．
B．
C．
D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．

9．已知数列
，下列结论正确的有（ ）

A．若
，
，则
B．若
，
，则

C．若
，则数列
是等比数列 D．若
，

，则

10.如图，
是双曲线
与椭圆
的公共焦点，点
是
在第一象限的公共点，设
方程为
，则有（ ）

A．
B．
的内切圆与轴相切于某某

C．若
，则
的离心率为
D．若
，则椭圆方程为

11．设数列
是等差数列，
是其前
项和，
且
，则（ ）

A．
B．
C．
或
为
的最大值 D．

12．如图，在棱长为
的正方体
中，
，
分别为
，
的中点，则（ ）

A．直线
与
的夹角为
B．平面
平面

C．点
到平面
的距离为

D．若正方体每条棱所在直线与平面
所成的角相等，则
截此正方体所得截面只能是三角形和六边形

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．已知等比数列
是递增数列，
是
的前
项和，
，
是方程
的两个根，则
内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 为
，
，
，

所以
，解得
，

同理在平面
中，设该平面的法向量为
，则
，
．

所以
，解得
，由于
，所以平面
平面
，故正确；

对于选项C：设点
到平面
的距离为
，利用
，

整理得
，解得
，故错误；

对于选项D：正方体每条棱所在直线与平面
所成的角相等，则
截此正方体所得截面只能是位于
个顶点的
个等边三角形和三角形和加粗线部分的正六边形（如图所示），故正确，

故选ABD．

三、填空题：13．
14．
15.
16.
，

四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．解（1）选①：因为
，
，
成等差数列，所以
，

所以
，解得
，所以
．

选②：因为
，
，
成等差数列，所以
，即
，

所以
，解得
，所以
．

（2）因为
，所以
，

所以
，

所以
．

18．解析：（1）由已知得:
, 解得两直线交点为
,

与
垂直，
过点
，
的方程
即
.

（2）设圆的标准方程为
，
.解得

圆的标准方程为
.

19．【解析】（1）因为抛物线
的焦点
在
轴上，所以条件①适合，条件②不适合．

又因为抛物线
的准线方程为
，所以条件④不适合题意．

当选择条件③时，
，此时适合题意．

故选择条件①③时，可得抛物线
的方程是
．

（2）假设总有
，由题意得直线
的斜率不为
，设直线
的方程为
，

设
，
，联立方程组
，消去
，整理得
，

所以
恒成立，
，
，

则
，

所以
，所以
，

综上所述，无论
如何变化，总有
．

20.（1）由
，得
，

因为
所以
，

；

（2）
，

，

.

21．【解析】（1）因为
平面
，
，所以
，

因为
，且
，所以四边形
为直角梯形．

（2）过点
作
的垂线交
于某某
，则
，
，

以
为坐标原点，分别以
，
，
为
轴，
轴，
轴，

建立如图所示的空间直角坐标系
，、

则
，
，
，
，

由（1）知
，又
，

则
为二面角
的平面角，

则
，
，所以
，
，

所以
，
，
，

所以
，
，

设平面
的法向量
，则
，即
，

令
，则
，
，所以
；又平面
的法向量
，

所以
，

由题意知二面角
为钝角，所以二面角
的余弦值为
．

22解： (1)设
,因为
,故
,

即
,整理可得
.

(2)当直线
与
轴垂直,且
在圆内时,易得
关于
轴对称,故必有
轴平分
.

当直线
斜率存在时,设过定点
的直线
方程为
.设
.

联立
,

.

因为无论直线
如何运动,
轴都平分
,故
,

即
,所以
,

.

所以

代入韦达定理有
,化简得
.

故
,恒过定点
.即

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