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绝密★启用前

2021年普通高等学校招生全国统一考试

数 学

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

设集合
，
，则
A．
B．
C．
D．

已知
，则
A．
B．
C．
D．

已知圆锥的底面半径为
，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为A．2 B．
C．4 D．

下列区间中，函数
单调递增的区间是A．
B．
C．
D．

已知
，
是椭圆
的两个焦点，点
在
上，则
的最大值为A．13 B．12 C．9 D．6

若
，则
A．
B．
C．
D．

若过点
可以作曲线
的两条切线，则A．
B．
C．
D．

有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立

选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

有一组样本数据
，由这组数据得到新样本数据
，其中
，
为非零常数，则A．两组样本数据的样本平均数相同 B．两组样本数据的样本中位数相同C．两组样本数据的样本标准差相同 D．两组样本数据的样本极差相同

已知
为坐标原点，点
，
，
，
，则A．
B．
C．
D．

已知点
在圆
上，点
，
，则A．点
到直线
的距离小于10 B．点
到直线
的距离大于2C．当
最小时，
D．当
最大时，

在正三棱柱
中，
，点
满足
，其中
，
，则A．当
时，
的周长为定值B．当
时，三棱锥
的体积为定值C．当
时，有且仅有一个点
，使得
D．当
时，有且仅有一个点
，使得
平面

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

已知函数
是偶函数，则
__________．

已知
为坐标原点，抛物线
的焦点为
，
为
上一点，
与
轴垂直，
为
轴上一点，且
．若
，则
的准线方程为__________．

函数
的最小值为__________．

某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折．规格为
的长方形纸，对折1次共可以得到
，
两种规格的图形，它们的面积之和
，对折2次共可以得到
，
，
三种规格的图形，它们的面积之和
，以此类推．则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为__________；如果对折
次，那么
__________
．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）

已知数列
满足
，

（1）记
，写出
，
，并求数列
的通项公式；

（2）求
的前20项和．

18．（12分）

某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题．每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 知
，点
在边
上，
．

（1）证明：
；

（2）若
，求
．

20．（12分）

如图，在三棱锥
中，平面
平面
，
，
为
的中点．

（1）证明：
；

若
是边长为1的等边三角形，点
在棱
上，
，且二面角
的大小为
，求三棱锥
的体积．

21．（12分）

在平面直角坐标系
中，已知点
，
，点
满足
．记
的轨迹为
．

（1）求
的方程；

设点
在直线
上，过
的两条直线分别交
于
，
两点和
，
两点，且
，求直线
的斜率与直线
的斜率之和．

22．（12分）

已知函数
．

（1）讨论
的单调性；

（2）设
，
为两个不相等的正数，且
，证明：
．

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