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空间几何体的外接球与内切球

类型一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径）

方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式
，即
，求出

例1 （1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为
，体积为
，则这个球的表面积是（ C ）

A．
B．
C．
D．

（2）若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为
，则其外接球的表面积是

解：（1）
，
，
，
，选C；

（2）
，

（3）在正三棱锥
中，
分别是棱
的中点，且
,若侧棱
,则正三棱锥
外接球的表面积是 。

解：引理：正三棱锥的对棱互垂直。证明如下：

如图（3）-1，取
的中点
，连接
，
交于
，连接
，则
是底面正三角形
的中心，

平面
，

，

，
，

，

平面
，

，同理：
，
，即正三棱锥的对棱互垂直，

本题图如图（3）-2，

，
，

，

，

平面
，

，
，

，
，

平面
，

，

故三棱锥
的三棱条侧棱两两互相垂直，

，即
，

正三棱锥
外接球的表面积是

（4）在四面体
中，
，
则该四面体的外接球的表面积为（ D ）

（5）如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为
、
、
，那么它的外接球的表面积是

（6）已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为
的等腰直角三角形和边长为
的正方形，则该几何体外接球的体积为

解析：（4）在
中，
，

，
的外接球直径为
，

，
，选D

（5）三条侧棱两两生直，设三条侧棱长分别为
（
），则

，

，

，
，
，
，
，

（6）
，
，

，

类型二、垂面模型（一条直线垂直于一个平面）

1．题设：如图5，
平面

解题步骤：

第一步：将
画在小圆面上，
为小圆直径的一个端点，作小圆的直

径
，连接
，则
必过球心
；

第二步：
为
的外心，所以
平面
，算出小圆
的半

径
（三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得

），
；

第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①


；

②

2．题设：如图6，7，8，
的射影是
的外心
三棱锥
的三条侧棱相等
三棱锥
的底面
在圆锥的底上，顶点
点也是圆锥的顶点

解题步骤：

第一步：确定球心
的位置，取
的外心
，则
三点共线；

第二步：先算出小圆
的半径
，再算出棱锥的高
（也是圆锥的高）；

第三步：勾股定理：


，解出

方法二：小圆直径参与构造大圆。

例2 一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为( )C

A．
B．
C．
D．以上都不对

解：选C，
,
,
,

,

类型三、切瓜模型（两个平面互相垂直）

1．题设：如图9-1，平面
平面
，且
（即
为小圆的直径）

第一步：易知球心
必是
的外心，即
的外接圆是大圆，先求出小圆的直径
；

第二步：在
中，可根据正弦定理
，求出

2．如图9-2，平面
平面
，且
（即
为小圆的直径）

3．如图9-3，平面
平面
，且
（即
为小圆的直径），且
的射影是
的外心
三棱锥
的三条侧棱相等
三棱
的底面
在圆锥的底上，顶点
点也是圆锥的顶点

解题步 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 ，侧棱长为
，则该三棱锥的外接球体积等于 .

解析：
外接圆的半径为 ，三棱锥
的直径为
，外接球半径
，

或
，
，外接球体积
，

4．三棱锥
中，平面
平面
，△
边长为
的正三角形，
，则三棱锥
外接球的半径为 .

解析：
的外接圆是大圆，
，
，

三棱锥
中，平面
平面
，
，
，
，则三棱锥
外接球的半径为 .

解析：
，
，
，

，

三棱锥
中，平面
平面
，
，
，
，则三棱锥
外接球的半径为 .

解：
是公共的斜边，
的中点是球心
，球半径为

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