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专题五 复数（知识串讲）

★★★★必备知识★★★★

1.复数的有关概念

内容

意义

备注



复数的概念

形如a＋bi(a∈R，b∈R)的数叫复数，其中实部为a，/虚部为b

若b＝0，则a＋bi为实数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数



复数相等

a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)





共轭复数

a＋bi与c＋di共轭?a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)





复平面

建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫实轴/，y轴叫虚轴

实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，各象限内的点都表示虚数



复数的模

设
对应的复数为z＝a＋bi，则向量
的长度叫做复数z＝a＋bi的模

|z|＝|a＋bi|＝



2.复数的几何意义

复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即[来源:***]

(1)复数z＝a＋bi/复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R).

(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)/平面向量
.

3.复数的运算

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则

(1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；

(2)减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；

(3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；

(4)除法：
(c＋di≠0).

★★★★常用结论★★★★

1.i的乘方具有周期性

in＝
(k∈/Z).

2.复数的模与共轭复数的关系

z·
＝|z|2＝|
|2.

3.两个注意点

(1)两个虚数不能比/较大小；

(2)利用复数相等a＋bi＝c＋di列方程时，注意a，b，c，d∈R的前提条件.

★★★★典型例题★★★★

考点一　复数的相关概念

【例1】 (1)(2020·*_**已知z＝
，则复数z的虚部为(　　)

A.－i B.2 C.－2i D.－2

(2)(2020·*_**已知在复平面内，复数z对应的点是Z(1，－2)，则复数z的共轭复数
＝(　　)

A.2－i 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．

【训练2】（2020·XX省高三其他（文））已知复数
，则复数
在复平面内对应的点为（ ）

A．
B．
C．
D．

【答案】C

【解析】
，

所以复数
在复平面内对应的点为
，故选：C.

考点三　复数的运算

【例3】1.（2020·XX高二课时练习）设
，下列命题：①
；②若
，则
；③
；④若
，则
；其中正确的有（ ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

【答案】D

【解析】对于①，设
，则
，

因为
，所以
，所以①正确；

对于②，设
，则
分别是
的平方根，

从复数三角形式可以得到
的模是相等的，

根据
，得到
，所以②正确；

对于③，根据复数模的性质，复数积商的模等于复数模的积商，

所以
，所以③正确；

对于④，令
，则有
，

但是
，所以④不正确；

所以正确命题有三个，

故选：D.

2．（2020·XX省高三其他（理））已知
是实数，
是纯虚数，则
的虚部为（ ）

A．1 B．
C．
D．

【答案】B

【解析】由复数的除法运算化简可得
，

由纯虚数的定义可知满足
，

解得
，所以
，
的虚部为
，故选：B.

规律方法　复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略

(1)复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可．

(2)复数的除法．除法/的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题时要注意把i的幂写成最简形式．

(3)复数的运算与复数概念的综合题．先利用复数的运算法则化简，一般化为a＋bi(a，b∈R)的形式，再结合相关定义解答．

(4)复数的运算与复数几何意义的综合题．先利用复数的运算法则化简，一般化为a＋bi(a，b∈R)的形式，再结合复数的几何意义解答．

【训练3】1.（2020·XX省高三三模（理））已知
（是虚数单位），则
( )

A．3 B．
C．
D．

【答案】C

【解析】
故选：C

2．（2020·*_**高三其他（文））已知
为虚数单位，
，则复数
的虚部是（ ）[来源:***]

A．
B．
C．
D．

【答案】D

【解析】
，
，所以
的虚部是
．

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