寒假训练四（答案）
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寒假训练四（答案）
一、选择楲（每小题3分，共30分）
1．D．2．B．3．C．4．A．5．A．6．B．7．C．8．B．9．C．10．D．
二、填空题（每小题4分，共16分）
11．㧟5．12．y3＜y1＜y2． 13．2 14．（㧟2，㧟4）．
三、解答题（本大题共6个小题，共54分）
15．（12分）（1）原某某＝㧟3㧟2+1+2㧟1＝㧟3；
（2）（x㧟11）（x+9）＝0，x㧟11＝0或x+9＝0，所以x1＝11，x2＝㧟9．
16.（1）随机抽取一张，是猴年生肖邮票的概率＝；故答案为；
（2）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中抽到的两张邮票组合起来刚好可以邮寄一封需2元邮资的信件的结果数为6，
所以抽到的两张邮票组合起来刚好可以邮寄一封需2元邮资的信件的概率＝＝
17．解：如图，延长AE交BC于点F，则AF⊥BC于点F，
∵AD＝10m，∴CF＝AD＝10，在Rt△ACF中，∵∠CAF＝30°，
∴AF＝＝＝10（m），
在Rt△ABF中，∵∠BAE＝58°，
∴BF＝AFtan∠BAF≈10×1.60≈27.68，
则BC＝BF+CF＝27.68+10＝37.68（m），答：铁碳BC的高度约为37.68m．
解：（1）∵∠A＝∠B＝90°，∠FEC＝90°，∴∠AEF+∠AFE＝90°，
∠AEF+∠CEB＝90°．∴∠AFE＝∠CEB．∴△AEF∽△BCE；
（2）由，设BE＝x，则AE＝2x，AB＝3x＝BC．
∵△AEF∽△BCE，∴＝．
19．解：（1）∵点A是一次函数y＝mx㧟4的图象上，
∴㧟4m㧟4＝0，∴m＝㧟1，∴一次函数的解析式为y＝㧟x㧟4，
∵点C（㧟5，n）是直线y＝㧟x㧟4上，∴n＝㧟（㧟5）㧟4＝1，
∴C（㧟5，1），∵点C（㧟5，1）是反比例函数y＝（k≠0）的图象上，
∴k＝㧟5×1＝㧟5，∴反比例函数的解析式为y＝㧟；
（2）由（1）知，C（㧟5，1），直线AB的解析式为y＝㧟x㧟4，
∴B（0，㧟4），设点Q（q，0），P（p，㧟），∵以B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，且P，Q两点在直线AB的同侧，∴①当BP与CQ是对角线时，
∴BP与CQ互相平分，
∴，
∴，
∴P（㧟1，5），Q（4，0）
②当BQ与CP是对角线时，
∴BQ与CP互相平分，
∴，
∴，
∴P（㧟1，5），Q（㧟4，0），
此时，点C，Q，B，P在同一条线上，不符合题意，舍去，
即以B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，点P（㧟1，5），点Q（4，0）．
20．（1）证明：如图1中，
∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠CAB，∴＝，∵＝，∴＝，∴AB＝CD．
（2）解：（i）结论：四边形ABCF是菱形．
理由：∵＝，∴OB⊥AC，AE＝EC，∴FA＝FC，
∵∠FAE＝∠BAE，AE＝AE，∠AEF＝∠AEB＝90°，
∴△AEF≌△AEB（ASA），∴AF＝AB，∵AB＝BC，∴AB＝BC＝CF＝AF，
∴四边形ABCF是菱形．
（ii）作CH⊥AD于H．
∵CD：AD＝3：5，设CD＝3k，AD＝5k，则AF＝CF＝AB＝CD＝3k，
∴DF＝2k．∵CF＝CD，CH⊥DF，∴HF＝HD＝k，∴AH＝4k，CH＝＝2k，
在R△ACH中，∵AC2＝AH2+CH2，∴96＝16k2+8k2，∴k＝2或㧟2（舍弃），
在Rt△BEC中，BE＝＝＝2∴AB＝BC＝6，连接OC，设OC＝r，
在Rt△OEC中，r2＝（2）2+（r㧟2）2，∴r＝3．
填空题（每小题4分，共20分）
21.解：Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，即＝，
设CB＝2x，则AB＝3x，
根据勾股定理可得：AC＝x．∴sinB＝＝＝．故答案为：．
22.解：根据题意得x1+x2＝2，x1x2＝㧟5，
x12+x22+3x1x2＝（x1+x2）2+x1x2＝22+（㧟5）＝㧟1．故答案为㧟1
23.解：连接OB，∵OC⊥AB，∴BC＝AB＝，由勾股定理得，OC＝＝，
当OD⊥AB时，点D到AB的距离的最小，由勾股定理得，OD＝＝，
∴点D到AB的距离的最小值为㧟，故答案为：；㧟．
24.解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝6，AD＝BC＝8，∠DAB＝∠ABC＝90°
∵折叠∴AB＝AB'＝6，BE＝B'E，∠ABC＝∠AB'E＝90°
若∠CEB'＝90°，且∠DAB＝∠ABC＝90°，∴四边形ABEB'是矩形，且AB＝AB'＝6
∴四边形ABEB'是正方形，∴BE＝B'E＝6，∴EC＝BC㧟BE＝2
∴B'C＝＝2
∴△CEB′的周长＝EC+B'C+B'E＝8+2，
若∠EB'C＝90°，且∠AB'E＝90°∴∠AB'E+∠EB'C＝180°
∴点A，点B'，点C三点共线，
在Rt△ABC中，AC＝＝10，∴B'C＝AC㧟AB'＝10㧟6＝4
∴△CEB′的周长＝EC+B'C+B'E＝8+4＝12 故答案为：12或8+2
25.解：连接CD，过点A作AF⊥x轴于点F，过D点作DH⊥x轴于H，设AB与EO的交点为G，
∵C点坐标为（㧟5，0），AB＝3，∴OC＝5，AG＝BG＝，
∵直线OF：y＝㧟x，直线OD：y＝x，∴∠COF＝∠COD＝∠ACO＝∠DCO＝45°，
∴DH＝OH＝，CG＝，
∴D（㧟，㧟），AC＝CG+AG＝4，∴AF＝CF＝∴，
∴OF＝OC㧟CF＝1，∴A（㧟1，4），把A（㧟1，4）代入y＝中，得k＝㧟4，
把D（㧟，㧟）代入y＝中，得m＝，∴mk＝㧟25．
故答案为：㧟25．
二、解答题（本大题共3小题，共30分）
26.解：（1）根据题意，得：（10+x）（400㧟10x）＝6000，
解得：x1＝10，x2＝20，∵尽可能多卖出以推广节能灯的使用，∴x取10，
∴节能灯的销售单价应为30+10＝40元；
（2）设销售利润为y元，根据题意得：y＝（10+x）（400㧟10x）
＝㧟10（x㧟15）2+6250，∵㧟10＜0，
∴x＝30+15＝45时，y有最大值，最大值为6250，
所以，销售单价为45元，才能在半月内获得最大利润6250元．
27．解：（1）如图1中，
当∠BEF＝45°时，易知四边形EBFH是正方形，∵AB＝8，AE：EB＝3：1，
∴AE＝6，EB＝2，∵∠C＝∠EBC＝∠BEM＝90°，∴四边形EBCM是矩形，
∴EM＝BC＝6，∵EH＝BE＝2，∴HM＝6㧟2＝4．
（2）如图2中，连接DE．
在Rt△EAD中，∵∠A＝90°，AD＝AB＝6，∴DE＝6，
在Rt△EDH中，DH＝＝2
设BF＝FH＝x，则DF＝x+2，FC＝6㧟x，
在Rt△DFC中，∵DF2＝DC2+CF2，∴（2+x）2＝82+（6㧟x）2，∴x＝㧟3，
∴tan∠FEH＝＝．
（3）如图3中，连接AC，作EM⊥AC于M．
∵∠EAM＝∠BAC，∠AME＝∠B＝90°，∴△AME∽△ABC，
∴＝，∴＝，∴EM＝，
∵S四边形AHCD＝S△ACH+S△ADC，S△ACD＝×6×8＝24，
∴当△ACH的面积最小时，四边形AHCD的面积最小，
∵当EH与EM重合时，点H到直线AC的距离最小，最小值＝㧟2＝，
∴△ACH的面积的最小值＝×10×＝8，
∴四边形AHCD的面积的最小值为8+24＝32．
28.解：（1）由题意把点A（9，㧟6）代入y＝mx+3，
得：m＝㧟1，
∴一次函数的解析式为：y＝㧟x+3；
∵抛物线的顶点C的坐标是（4，㧟11）且过点A（9，㧟6），
∴a（x㧟4）2㧟11＝㧟6，
解得：a＝，
∴此抛物线解析式为：y＝＝；
（2）①当0＜n＜4时，
如图，设点D的横坐标为n，抛物线对称轴为：直线x＝4，
过点D作x轴的垂线交直线AB于点E，
则D（n，），E（n，㧟n+3），
∴DE＝㧟n+3㧟（）＝，
S△ABD＝S△BDE+S△ADE
＝DE?（xE㧟xB）+DE?（xA㧟xE）
＝DE?（xA㧟xB）
＝（）×9＝，
解得：n1＝（不合题意，舍去），n2＝（不合题意，舍去）；
②当n＜0时，如图，S△ABD＝S△ADE㧟S△BDE，
＝DE?（xA㧟xE）㧟DE?（xB㧟xE）＝DE?（xA㧟xB）＝（）×9＝，解得：n1＝，n2＝（不合题意，舍去）；
当n＝时，y＝
＝∴D（，）．
（3）在y轴上存在一点P，使∠APC＝45°，理由如下：
分别过点C、A作y轴、x轴的平行线，两线交于点G，则∠CGA＝90°，
∵A、C的坐标分别为（9，㧟6），（4，㧟11），∴点G的坐标为（4，㧟6），
∴GA＝GC＝5，作以G为圆心，5个单位长度为半径的圆，交y轴于点P，
连接AP、CP，此时∠APC＝∠CGA＝45°，∴GP＝5，
设点P的坐标为（0，k），过点G作GH⊥y轴于点H，
则H（0，㧟6），在Rt△PGH中，PH2+HG2＝PG2，
即（k+6）2+42＝52，解得：k1＝㧟3，k2＝㧟9，∴P1（0，㧟3），P2（0，㧟9）．
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