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数列知识与题型总结

等差数列

1、等差数列的定义

叫等差数列.即
或 。

如设
是等差数列，求证：以bn=

为通项公式的数列
为等差数列。

2、通项公式与求和公式

（1）等差数列的通项：

第一通项公式
.

第二通项公式

第三通项公式

如①等差数列
中，
，
，则通项
　　　　（答：
）；②首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______（答：
）

（2）等差数列的前
和：
，
。如数列
中，
，
，前n项和
，则
＝＿，
＝＿（答：
，
）；

3、识别与证明等差数列

（1）证明

①定义法：
。

②等差中项法：若
成等差数列，则A叫做
与
的等 差中项，且
。常用它证明三项某某等差数列，也可用 证明n项某某等差。

提醒：（1）等差数列的通项公式及前
和公式中，涉及到5个元素：
、
、
、
及
，其中
、
称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，
…（公差为
）；偶数个数成等差，可设为…，
,…（公差为2
）

（2）识别

①通项识别法：

②前n项和公式识别法：

4、等差数列的性质

（1）单调性

若公差
，则为递增等差数列，若公差
，则为递减等差数列，若公差
，则为常某某。

（2）与
有关的性质

①当
时,则有
，特别地，当
时，则有
.如等差数列
中，
，则
＝____（答：27）；

②
,
；

③
(反之不一定成立)；特别地,当
时,有
；

④若
、
是等差数列,则
(
、
是非零常数)是等差数列；

⑤等差数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”即
仍是等差数列；

⑥等差数列
,当项数为
时,
,
；项数为
时,

,
,且
；
.

⑦首项为正(或为负)的递减(或递增)的等差数列前n项和的最大(或最小)问题,转化为解不等式
(或
).

(3) 与
有关的性质

若
是等差数列，则
，…也成等差数列， 如等差数列的前n项某某25，前2n项某某100，则它的前3n和为 。（答：225）

（4）
与
的关系的性质

等比数列

1、等比数列的定义 即
，其中
或

。如数列
中，
=4
+1 (
)且
=1，若
，求证：数列｛
｝是等比数列。

2、等比数列的通项公式与求和公式

（1）等比数列的通项：

第一通项公式

第二通项公式

第三通项公式

如设等比数列
中，
，
，前
项和
＝126，求
和公比
. （答：
，
或2）

（2）等比数列的前
和：

如等比数列中，
＝2，S99=77，求
（答：44）；

特别提醒：等比数列前
项和公式有两种形式，为此在求等比数列前
项某某，首先要判断公比
是否为1，再由
的情况选择求和公式的形式，当不能判断 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。

　 ∴

∴ 数列{bn}的前n项和

＝
＝

注：常见的拆项公式有：

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

六、探索周期规律求和

例1． 数列{an}：
，求S2002.

解：设S2002＝

由
可得

……

∵

∴　S2002＝

＝

＝

＝

＝5

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