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第二章不等式
第一节不等关系与不等式
1．两个实数比较大小的依据
(1)a－b＞0?a＞b.
(2)a－b＝0?a＝b.
(3)a－b＜0?a＜b.
2．不等式的性质
(1)对称性：a＞b?b＜a；
(2)传递性：a＞b，b＞c?a＞c；
(3)可加性：a＞b?a＋c＞b＋c；
a＞b，c＞d?a＋c＞b＋d；
(4)可乘性：a＞b，c＞0?ac＞bc；
a＞b＞0，c＞d＞0?ac＞bd；
(5)可乘方：a＞b＞0?an＞bn(n∈N，n≥1)；
(6)可开方：a＞b＞0? ＞ (n∈N，n≥2)．
[小题体验]
1．(教材习题改编)用不等号“＞”或“＜”填空：
(1)a＞b，c＜d?a－c________b－d；
(2)a＞b＞0，c＞d＞0?ac________bd；
(3)a＞b＞0?________.
答案：(1)＞ (2)＞ (3)＞
2.＋，＋的大小关系为____________．
答案：＋＜＋
3．已知a＜0，－1＜b＜0，则a，ab，ab2的大小关系是________．(用“＞”连接)
解析：由－1＜b＜0，可得b＜b2＜1.又a＜0，∴ab＞ab2＞a.
答案：ab＞ab2＞a
1．在应用传递性时，注意等号是否传递下去，如a≤b，b＜c?a＜c.
2．在乘法法则中，要特别注意“乘数c的符号”，例如当c≠0时，有a＞b?ac2＞bc2；若无c≠0这个条件，a＞b?ac2＞bc2就是错误结论(当c＝0时，取“＝”)．
[小题纠偏]
1．设a，b，c∈R，且a＞b，则( )
A．ac＞bc B.＜ C．a2＞b2 D. a3＞b3
答案：D
2．“a＞b＞0”是“＜”的________条件．
答案：充分不必要
[题组练某某]
1．已知p＝a＋，q＝x2－2，其中a＞2，x∈R，则p，q的大小关系是( )
A．p≥q B．p＞q C．p＜q D．p≤q
解析：选A 因为a＞2，所以p＝a＋＝a－2＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当a＝3时取等号．
因为x2－2≥－2，所以q＝x2－2≤－2＝4，当且仅当x＝0时取等号．所以p≥q.
2．若a＝，b＝，则a____b(填“＞”或“＜”)．
解析：易知a，b都是正数，＝＝log89＞1，所以b＞a.
答案：＜
3．已知等比数列{an}中，a1＞0，q＞0，前n项某某Sn，则与的大小关系为________．
解析：当q＝1时，＝3，＝5，所以＜.
当q＞0且q≠1时，
－＝－
＝＝＜0，
所以＜.综上可知＜.
答案：＜
[谨记通法]
比较两实数(式)大小的2种常用方法
作差法
其基本步骤：作差，变形，判断符号，得出结论．用作差法比较大小的关键是判断差的正负，常采用配方、因式分解、分子(分母)有理化等变形方法
作商法
判断商与1的大小关系，得出结论，要特别注意，当商与1的大小确定后，必须对商某某分子、分母的正负作出判断，这是用作商法比较大小时最容易漏掉的关键步骤
[典例引领]
1．若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有( )
A.＞ B.＜
C.＞ D.＜
解析：选B 因为c＜d＜0，所以－c＞－d＞0，
所以＞＞0.
又a＞b＞0，所以＞，
所以＜.故选B.
2．设a，b∈R，则“(a－b)·a2＜0”是“a＜b”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A (a－b)·a2＜0，则必有a－b＜0，即a＜b；而a＜b时，不能推出(a－b)·a2＜0，如a＝0，b＝1，所以“(a－b)·a2＜0”是“a＜b”的充分不必要条件．
[由题悟法]
不等式性质应用问题的3大常见类型及解题策略
(1)利用不等式性质比较大小．熟记不等式性质的条件和结论是基础，灵活运用是关键，要注意不等式性质成立的前提条件．
(2)与充要条件相结合问题．用不等式的性质分别判断p?q和q?p是否正确，要注意特殊值法的应用．
(3)与命题真假判断相结合问题．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．
[即时应用]
1．若＜＜0，则下列结论不正确的是( )
A．a2＜b2 B．ab＜b2
C．a＋b＜0 D．|a|＋|b|＞|a＋b|
解析：选D ∵＜＜0，∴b＜a＜0，
∴b2＞a2，ab＜b2，a＋b＜0，
∴选项A、B、C均正确，
∵b＜a＜0，
∴|a|＋|b|＝|a＋b|，故D项错误，故选D.
2．若a，b，c为实数，则下列命题正确的是( )
A．若a＞b，则ac2＞bc2
B．若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2
C．若a＜b＜0，则＜
D．若a＜b＜0，则＞
解析：选B A选项需满足c≠0；取a＝－2，b＝－1知选项C、D错误．故选B.
[典例引领]
1．(2018·*_**已知－1＜x＋y＜4,2＜x－y＜3，则3x＋2y的取值范围是____________．
解析：设3x＋2y＝m(x＋y)＋n(x－y)＝(m＋n)x＋(m－n)y，
所以m＋n＝3，m－n＝2，
解得m＝，n＝，
所以3x＋2y＝ (x＋y)＋(x－y)，
由－1＜x＋y＜4，
得－＜(x＋y)＜10，
由2＜x－y＜3，
得1＜(x－y)＜，
上述不等式相加得－＜(x＋y)＋(x－y)＜，
所以－ ＜3x＋2y＜.
答案：
2．已知1≤lg xy≤4，－1≤lg≤2，求lg的取值范围．
解：由1≤lg xy≤4，－1≤lg ≤2，
得1≤lg x＋lg y≤4，－1≤lg x－lg y≤2，
而lg＝2lg x－lg y＝(lg x＋lg y)＋(lg x－lg y)，
所以－1≤lg≤5，
即lg 的取值范围是[－1,5]．
[类题通法]
利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围，解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围．
[即时应用]
1．若6＜a＜10，≤b≤2a，c＝a＋b，则c的取值范围是( )
A．[9,18] B．(15,30)
C．[9,30] D．(9,30)
解析：选D ∵≤b≤2a，
∴≤a＋b≤3a，
即≤c≤3a.
∵6＜a＜10，
∴9＜c＜30.故选D.
2．若1＜α＜3，－4＜β＜2，则α－|β|的取值范围是________．
解析：∵－4＜β＜2，∴0≤|β|＜4，∴－4＜－|β|≤0.
∴－3＜α－|β|＜3.
答案：(－3,3)
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1．设a，b∈[0，＋∞)，A＝＋，B＝，则A，B的大小关系是( )
A．A≤B B．A≥B
C．A＜B D．A＞B
解析：选B 由题意得，B2－A2＝－2≤0，且A≥0，B≥0，可得A≥B.
2．若a＜b＜0，则下列不等式不能成立的是( )
A.＞ B.＞
C．|a|＞|b| D．a2＞b2
解析：选A 取a＝－2，b＝－1，则＞不成立．
3．(2018·**_*设a＞0且a≠1，则“ab＞1”是“(a－1)b＞0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选C 若ab＞1，因为a＞0且a≠1，所以当0＜a＜1时，b＜0，此时(a－1)b＞0成立；当a＞1时，b＞0，此时(a－1)b＞0成立．若(a－1)b＞0，因为a＞0且a≠1，所以当0＜a＜1时，b＜0，此时ab＞1；当a＞1时，b＞0，此时ab＞1.所以“ab＞1”是“(a－1)b＞0”的充要条件．
4．(2018·*_**设a，b∈R，若a－|b|＞0，则下列不等式中正确的是( )
A．b－a＞0 B．a3＋b3＜0
C．a2－b2＜0 D．b＋a＞0
解析：选D 利用赋值法，令a＝1，b＝0，排除A、B、C，选D.
5．b g糖水中有a g糖(b＞a＞0)，若再添m g糖(m＞0)，则糖水变甜了．试根据这一事实，提炼出一个不等式____________．
答案：＜
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1．已知a1，a2∈(0,1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是( )
A．M＜N B．M ＞N
C．M＝N D．不确定
解析：选B M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)
＝a1a2－a1－a2＋1＝(a1－1)(a2－1)，
又∵a1∈(0,1)，a2∈(0,1)，∴a1－1＜0，a2－1＜0.
∴(a1－1)(a2－1)＞0，即M－N＞0.∴M ＞N.
2．若＜＜0，给出下列不等式：①＜；②|a|＋b＞0；③a－＞b－；④ln a2＞ln b2.其中正确的不等式的序号是( )
A．①④ B．②③
C．①③ D．②④
解析：选C 法一：因为＜＜0，故可取a＝－1，b＝－2.显然|a|＋b＝1－2＝－1＜0，所以②错误；因为ln a2＝ln(－1)2＝0，ln b2＝ln(－2)2＝ln 4＞0，所以④错误，综上所述，可排除A、B、D，故选C.
法二：由＜＜0，可知b＜a＜0.
①中，因为a＋b＜0，ab＞0，所以＜，故①正确；
②中，因为b＜a＜0，所以－b＞－a＞0，故－b＞|a|，即|a|＋b＜0，故②错误；
③中，因为b＜a＜0，又＜＜0，则－＞－＞0，所以a－＞b－，故③正确；
④中，因为b＜a＜0，根据y＝x2在(－∞，0)上为减函数，可得b2＞a2＞0，而y＝ln x在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以ln b2＞ln a2，故④错误．由以上分析，知①③正确．
3．(2018·*_**设a，b是实数，则“a＞b＞1”是“a＋＞b＋”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
解析：选A 因为a＋－＝，若a＞b＞1，显然a＋－＝＞0，则充分性成立，当a＝，b＝时，显然不等式a＋＞b＋成立，但a＞b＞1不成立，所以必要性不成立．
4．若m＜0，n＞0且m＋n＜0，则下列不等式中成立的是( )
A．－n＜m＜n＜－m B．－n＜m＜－m＜n
C．m＜－n＜－m＜n D．m＜－n＜n＜－m
解析：选D 法一：(取特殊值法)令m＝－3，n＝2分别代入各选项检验即可．
法二：m＋n＜0?m＜－n?n＜－m，又由于m＜0＜n，故m＜－n＜n＜－m成立．
5．设a＜0，b＜0，则p＝＋与q＝a＋b的大小关系是( )
A．p＞q B．p≥q
C．p＜q D．p≤q
解析：选D p－q＝＋－(a＋b)＝＝＝＝.
因为a＜0，b＜0，
所以≤0，即p≤q，故选D.
6．已知a，b为实数，且a≠b，a＜0，则a________2b－(填“＞”“＜”或“＝”)．
解析：∵a≠b，a＜0，∴a－＝＜0，
∴a＜2b－.
答案：＜
7．已知函数f(x)＝ax＋b,0＜f(1)＜2，－1＜f(－1)＜1，则2a－b的取值范围是________．
解析：由函数的解析式可知0＜a＋b＜2，－1＜－a＋b＜1，又2a－b＝(a＋b)－(－a＋b)，结合不等式的性质可得2a－b∈.
答案：
8．已知a＋b＞0，则＋与＋的大小关系是________．
解析：＋－＝＋＝(a－b)·＝.
∵a＋b＞0，(a－b)2≥0，∴≥0.
∴＋≥＋.
答案：＋≥＋
9．已知存在实数a满足ab2＞a＞ab，则实数b的取值范围是__________．
解析：∵ab2＞a＞ab，∴a≠0，
当a＞0时，b2＞1＞b，
即解得b＜－1；
当a＜0时，b2＜1＜b，
即此式无解．
综上可得实数b的取值范围为(－∞，－1)．
答案：(－∞，－1)
10．实数x，y满足3≤xy2≤8，≤≤，求的取值范围．
解：∵≤≤，∴4≤≤9，∴2∈[16,81]．
又∵3≤xy2≤8.∴∈，
∴＝2·∈[2,27]，故的取值范围为[2,27]．
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1．(2018·*_**已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足b＋c≤3a，则的取值范围为( )
A．(1，＋∞) B．(0,2)
C．(1,3) D．(0,3)
解析：选B 由已知及三角形三边关系得
∴∴
两式相加得，0＜2·＜4，∴的取值范围为(0,2)．
2．设a，b∈R，定义运算“?”和“⊕”如下：a?b＝a⊕b＝若m?n≥2，p⊕q≤2，则( )
A．mn≥4且p＋q≤4 B．m＋n≥4且pq≤4
C．mn≤4且p＋q≥4 D．m＋n≤4且pq≤4
解析：选A 结合定义及m?n≥2可得或即n≥m≥2或m＞n≥2，所以mn≥4；结合定义及p⊕q≤2可得或即q＜p≤2或p≤q≤2，所以p＋q≤4.故选A.
3．设a1≈，a2＝1＋.
(1)证明：介于a1，a2之间；
(2)求a1，a2中哪一个更接近.
解：(1)证明：∵(－a1)(－a2)＝(－a1)·＝＜0.
∴介于a1，a2之间．
(2)|－a2|＝＝＝|－a1|＜|－a1|.
∴a2比a1更接近.
第二节一元二次不等式及其解法
“三个二次”的关系
判别式Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根
有两相异实根
x1，x2(x1＜x2)
有两相等实根
x1＝x2＝－
没有实数根
一元二次不等式
ax2＋bx＋c＞0
(a＞0)的解集
{x|x＜x1或x＞x2}
R
一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集
{x|x1＜x＜x2}
?
?
[小题体验]
1．(2019·*_**已知集合A＝{x|x2－3x＋2＜0}，B＝{x|x≥1}，则A∩B＝( )
A．(1,2) B．(2，＋∞)
C．(1，＋∞) D．?
解析：选A 由题意知，A＝{x|1＜x＜2}，故A∩B＝{x|1＜x＜2}．
2．(教材习题改编)不等式－x2＋2x－3＞0的解集为________．
答案：?
3．不等式ax2＋abx＋b＞0的解集为{x|2＜x＜3}，则a＝________，b＝________.
解析：由题意知2,3是ax2＋abx＋b＝0的两根，
则
得
答案：－ －5
1．对于不等式ax2＋bx＋c＞0，求解时不要忘记讨论a＝0时的情形．
2．当Δ＜0时，ax2＋bx＋c＞0(a≠0)的解集为R还是?，要注意区别．
3．含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论．
[小题纠偏]
1．不等式≤0的解集为( )
A．{x|x＜1或x≥3} B．{x|1≤x≤3}
C．{x|1＜x≤3} D．{x|1＜x＜3}
解析：选C 由≤0，得
解得1＜x≤3.
2．若不等式mx2＋2mx＋1＞0的解集为R，则m的取值范围是________．
解析：①当m＝0时，1＞0显然成立．
②当m≠0时，由条件知得0＜m＜1.
由①②知0≤m＜1.
答案：[0,1)
[题组练某某]
1．已知函数f(x)＝则不等式f(x)－x≤2的解集是________．
解析：当x≤0时，原不等式等价于2x2＋1－x≤2，∴－≤x≤0；当x＞0时，原不等式等价于－2x－x≤2，∴x＞0.综上所述，原不等式的解集为.
答案：
2．不等式≥－1的解集为________．
解析：将原不等式移项通分得≥0，
等价于解得x＞5或x≤.
所以原不等式的解集为.
答案：
3．解下列不等式：
(1)(易错题)－3x2－2x＋8≥0；
(2)≥2.
解：(1)原不等式可化为3x2＋2x－8≤0，
即(3x－4)(x＋2)≤0.解得－2≤x≤，
所以原不等式的解集为.
(2)不等式等价于
即
解得－≤x＜1或1＜x≤3.
所以原不等式的解集为.
[谨记通法]
解一元二次不等式的4个步骤
[典例引领]
解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1＜0(a＞0)．
解：原不等式变为(ax－1)(x－1)＜0，
因为a＞0，所以a(x－1)＜0，
所以当a＞1时，解为＜x＜1；
当a＝1时，解集为?；
当0＜a＜1时，解为1＜x＜.
综上，当0＜a＜1时，不等式的解集为.
当a＝1时，不等式的解集为?.
当a＞1时，不等式的解集为.
[由题悟法]
解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据
(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．
(2)当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系．
(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．
[提醒] 当不等式中二次项的系数含有参数时，不要忘记讨论其等于0的情况．
[即时应用]
1．已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是，则不等式x2－bx－a＜0的解集是( )
A．(2,3)
B．(－∞，2)∪(3，＋∞)
C.
D.∪
解析：选A 由题意知－，－是方程ax2－bx－1＝0的根，所以由根与系数的关系得－＋＝，－×＝－.解得a＝－6，b＝5，不等式x2－bx－a＜0，即为x2－5x＋6＜0，解集为(2,3)．
2．若不等式ax2＋5x－2＞0的解集是.
(1)求实数a的值；
(2)求不等式ax2－5x＋a2－1＞0的解集．
解：(1)由题意知a＜0，且方程ax2＋5x－2＝0的两个根为，2，代入解得a＝－2.
(2)由(1)知不等式为－2x2－5x＋3＞0，
即2x2＋5x－3＜0，解得－3＜x＜，
即不等式ax2－5x＋a2－1＞0的解集为.
[锁定考向]
一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系．在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换．对于一元二次不等式恒成立问题，常根据二次函数图象与x轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的取值范围．
常见的命题角度有：
(1)形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈R)确定参数的范围；
(2)形如f(x)≥0(x∈[a，b])确定参数的范围；
(3)形如f(x)≥0(参数m∈[a，b])确定x的范围．
[题点全练]
角度一：形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈R)确定参数的范围
1．若不等式2kx2＋kx－＜0对一切实数x都成立，则k的取值范围为( )
A．(－3,0) 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 ：(1)当a＝1时，f(x)＝|x＋1|－|x－1|，
即f(x)＝
故不等式f(x)＞1的解集为.
(2)当x∈(0,1)时|x＋1|－|ax－1|＞x成立等价于当x∈(0，1)时|ax－1|＜1成立．
若a≤0，则当x∈(0,1)时，|ax－1|≥1，不满足题意；
若a＞0，则|ax－1|＜1的解集为，
所以≥1，故0＜a≤2.
综上，a的取值范围为(0,2]．
4．(2018·全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝5－|x＋a|－|x－2|.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥0的解集；
(2)若f(x)≤1，求a的取值范围．
解：(1)当a＝1时，f(x)＝
当x＜－1时，由2x＋4≥0，解得－2≤x＜－1；
当－1≤x≤2时，显然满足题意；
当x＞2时，由－2x＋6≥0，解得2＜x≤3，
故f(x)≥0的解集为{x|－2≤x≤3}．
(2)f(x)≤1等价于|x＋a|＋|x－2|≥4.
而|x＋a|＋|x－2|≥|a＋2|，且当x＝2时等号成立．
故f(x)≤1等价于|a＋2|≥4.
由|a＋2|≥4，可得a≤－6或a≥2，
所以a的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)．
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