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简单空间几何体的外接球问题教学设计

教学内容解析

本节课是在全面学习了立体几何中的空间几何体之后，对空间中简单多面体与球相结合的综合问题的研究，是建立在学生熟练掌握平面几何的相关知识，类比得到空间几何体的一些结论，其中涉及到长方形外接圆的半径，三角形外接圆的半径的求法，需要学生充分发挥空间想象能力，在球中构建直角三角形求外接圆的半径。

本节课较全面的总结了多面体的外接球问题，既有对简单问题的快速便捷处理方法，又有对常见考法的系统探究，是属于中高考复习备考方法，策略的研究案例。

二、教学目标设置

知识与技能：1、掌握与长方体有关的外接球问题

2、理解用定义法和截面性质解决空间几何体的外接球问题。

过程与方法：通过类比平面的相关知识，建立空间感，运用外接球的定义求解外接球的半径。

情感、态度、价值观：充分发挥学生的空间想象能力，通过体会外接球半径的探索过程，正确地拓展已学知识，适时地建立模型归纳所学内容，从而完善地建立知识模块体系。

三、学生学情分析

多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点，在近几年的高考题中都有出现。球经常和其它空间几何体相结合出题，以选择题或填空题的形式出现。

在平时学习中，学生已经掌握了正方体、长方体的外接球，了解了补形法，但对一般三棱锥的外接球相关问题的求解仍有困难，主要是因为不善于抓住几何体的结构特征，不能正确回归外接球定义，寻找球心和半径。

四、教学过程设计

（一）、新课引入

1、图片展示：生活中的球，并让学生回答球的定义，及球心的定义.

2、学生活动：展示长方形外接圆的求法

学生思考：1、在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，将矩形ABCD沿AC折成一个二面角,使B-AC-D为
，则四面 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 的几何特征灵活构造。

设计意图：通过例题展示，学生合作探究，从理论和实践上掌握补成长方体模型的方法。并通过学生的探究让他们自己总结适合这种方法的情况。让学生体会发现问题并解决问题的快感。

外接球的解决策论三

平面向空间的类比：

预备知识一：一平面截球，得到截面为圆面，当截面不经过球心时，球心与截面圆心连线与截面垂直

预备知识二：任意三角形外接圆半径的求法

正弦定理：

例题展示

例2

例3

例4

正四棱锥的顶点都在同一个球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为 。

3、对接高考

4、小结：

利用球的截面性质解决外接球问题

1、直棱柱的外接球的球心是上、下底面多边形外心连线的中点

2、正棱锥的外接球的球心在其高线上，具体位置可通过直角三角形运用勾股定理计算得到

【设计意图】：通过类比思路得到球的截面性质，同过三个例题层层递进体会如何用截面性质解决外接球问题的过程。

当堂检测

求棱长为1的正四面体外接球的体积。（用多种方法）

【设计意图】通过简单的检测让学生整体理解这节课所讲的三种方法。

课堂小结

由学生来总结本节课主要内容。检验学生的学习效果。

（1）在空间中，如果一个顶点与一个简单多面体的所有顶点距离都相等那么这个顶点就是简单多面体的外接球的球心。

（2）在三棱锥中具备两两垂直或对棱两两相等时,可补形成长方体使问题得到简化。

（3）利用球的截面性质。

（4）数学思想：类比平面圆的特征，学习空间球的性质。

【设计意图】学生回顾总结本节课所学内容，培养学生归纳总结的能力以及语言表达的素养.

作业

（1）总结空间几何体的外接球的半径的求法

（2）思考正方体和正四面体的内切球怎样求

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