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导数中的切线问题专题练习

一、单选题

1．函数
的图象在点
处的切线斜率为（ ）

A．2 B．-2 C．4 D．

2．一质点的运动方程是
，则在时间
内相应的平均速度为（ ）

A．
B．
C．
D．

3．已知直线
是曲线
的切线，则
（ ）

A．
或1 B．
或2 C．
或
D．
或1

4．已知函数
在
处的切线与直线
垂直，则
（ ）

A．2 B．0 C．1 D．－1

5．曲线
在点
处的切线斜率为（ ）

A．1 B．2 C．－1 D．-2

6．曲线
在点
处的切线方程是（ ）

A．
B．
C．
D．

7．如图所示的是
的图象，则
与
的大小关系是( )

A．
B．

C．
D．不能确定

8．过曲线
（
）上横坐标为1的点的切线方程为( )

A．
B．

C．
D．

9．已知函数
在
处的切线与直线
平行，则
（ ）

A．8 B．9 C．10 D．11

10．函数
在
处的切线方程是（ ）

A．
B．

C．
D．

11．已知曲线
的一条切线的斜率为
，则切点的横坐标为 ．

A．3 B．2 C．1 D．

12．函数
的图象在点
处的切线方程是
，则

（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

二、填空题

13．与直线
平行且与抛物线
相切的直线方程是_______．

14．若点
在曲线
上，且
，则曲线
在点
处的切线方程是________．

15．曲线
的一条切线的斜率为2，则切点坐标为_________．

16．设曲线
在点
处的切线方程为
，则
________.

三、解答题

17．求曲线
在点
处的切线与直线
和
围成的三角形的面积.

18．已知曲线 y = x3 + x－2 在点 P0 处的切线
平行于直线

4x－y－1=0，且点 P0 在第三象限,

⑴求P0的坐标;

⑵若直线
, 且 l 也过切点P0 ,求直线l的方程.

19．函数
在点
处的切线为
．

（1）若
与直线
平行，求实数
的值；

（2）若
与直线
垂直，求实数
的值．

20．已知函数
.

（1）求这个函数的导数；

（2）求这个函数的图象在点
处的切线方程.

21．（1）①已知
，求
.

②已知
求
.

（2）求过点
的曲线
的切线方程.

22．已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4．

(1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；

(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．

参考答案

1．D

【分析】

首先求出函数的导函数，再代入求值即可；

【详解】

解：因为
，所以
，
.

故选：D

2．D

【分析】

由平均变化率的定义计算．

【详解】

.

故选：D．

3．D

【分析】

求得直线
的斜率，利用曲线
的导数，求得切点坐标，代入直线方程，求得
的值.

【详解】

直线
的斜率为
，

对于
，令
，解得
，故切点为
，代入直线方程得
，解得
或1.

故选：D

【点睛】

本小题主要考查根据切线方程求参数，属于基础题.

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，

故直线
和
所围成的三角形
的面积等于
.

18．（1）
（2）

【详解】

本试题主要是考查了导数的几何意义，两条直线的位置关系，平行和垂直的运用．以及直线方程的求解的综合运用．

首先根据已知条件，利用导数定义，得到点P0的坐标，然后利用
，设出方程为x+4y+c=0,根据直线过点P0得到结论．

解：（1）由y=x3+x-2，得y′=3x2+1，

由已知得3x2+1=4，解某某x=±1．

当x=1时，y=0；

当x=-1时，y=-4．

又∵点P0在第三象限，

∴切点P0的坐标为（-1，-4）；

（2）∵直线 l⊥l1，l1的斜率为4，

∴直线l的斜率为-1/ 4 ，

∵l过切点P0，点P0的坐标为（-1，-4）

∴直线l的方程为y+4=
（x+1）即x+4y+17=0．

19．（1）
（2）

【分析】

（1）由题得在
处切线斜率
，解方程得
得解；（2）由题得
，解方程得解.

【详解】

解：（1）由题意得：

∴在
处切线斜率

∵切线与
平行

∴
，解得

（2）由（1）知，切线斜率
，

∵切线与
垂直

∴
，

解得
．

【点睛】

本题主要考查导数的几何意义，考查直线的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.

20．（1）
；（2）切线方程：
.

【分析】

（1）根据导数的运算法则和常见函数的导数算出结果即可；

（2）求出
和
在
处的值即可.

【详解】

（1）因为
，所以

（2）因为
在
处的值为1，
在
处的值为2

所以切线方程为
，即

21．（1）①
；②
；（2）
或
.

【分析】

（1）①先求出导数，然后代值计算即可.

②先求出导数，然后代值计算即可；

（2）设
为切点，切线的斜率为
，切线方程可表示为

，再将已知点
代入切线方程中求出切点坐标，最后写出切线方程即可.

【详解】

（1）①
，
.

②
，
；

（2）设
为切点，则切线的斜率为
，

故切线方程为
，即
，

又知切线过点
，代入上式得
，

即
，解得
或
，

故所求的切线方程为：
或
，

即
或
.

【点睛】

方法点睛：求曲线经过某点的切线方程的方法：

（1）设出切点坐标
；

（2）列关于
与
的方程组，求解方程组，进而求切线斜率；

（3）写出问题的结论.

22．（1）x－y－4＝0

（2）x－y－4＝0或y＋2＝0

【解析】

解：(1)∵f′(x)＝3x2－8x＋5，

∴f′(2)＝1，又f(2)＝－2，

∴曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－(－2)＝x－2，即x－y－4＝0．

(2)设切点坐标为(x0，x03－4x02＋5x0－4)，

∵f′(x0)＝3x02－8x0＋5，

∴切线方程为y－(－2)＝(3x02－8x0＋5)(x－2)，

又切线过点(x0，x03－4x02＋5x0－4)，

∴x03－4x02＋5x0－2＝(3x02－8x0＋5)(x0－2)，

整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，解得x0＝2或x0＝1，

∴经过A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x－y－4＝0或y＋2＝0．

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